Mathematik

ALLGEMEINE LERNZIELE
Es gilt grundsätzlich der Doppelauftrag von Schule, sowohl Unterrichts- als auch Erziehungsaufgaben zu erfüllen. Dabei verweist der Begriff Unterricht primär auf die Vermittlung von Kenntnissen, Einsichten, Fertigkeiten, Fähigkeiten:

In der Auseinandersetzung mit ausgewählten Themen und Gegenständen der einzelnen Schulfächer sollen die Schüler lernen, bestimmte Sachverhalte, Probleme, Lösungsmöglichkeiten, Erkenntnisse zu erfassen, darzustellen, zu deuten, zu bewerten und anzuwenden.

Der Mathematikunterricht soll das Abstraktionsvermögen des Schülers fördern und ihn zu relationalem Denken anleiten. Das geschieht dadurch, dass Problemsituationen rational reflektiert und beschrieben werden und dass Aussagen systematisch verglichen, geordnet und kontrolliert werden.

Der Mathematikunterricht soll das kreative Verhalten der Schüler ansprechen, z.B. die geistige Initiative fördern und die konstruktive Phantasie anregen.

Stufe 10:

THEMA: Gleichungslehre
Im Zentrum steht die systematische Bestimmung der Lösungsmengen von Gleichungen und Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen.
Anhand von Aussageformen, die durch bestimmte Elemente der Grundmenge in wahre oder falsche Aussagen übergehen, sollen die Schüler eine anschauliche Einführung in die Gleichungslehre erhalten.
Es folgt die systematische Behandlung der verschiedenen Gleichungs- - und Ungleichungstypen.

Die Inhalte im einzelnen:

1. Gleichung

1.1 Begriffsbildung

1.2 Bestimmung der Lösungsmenge durch systematisches Probieren

2. Lineare Gleichungssysteme

2.1 grafische Lösung

2.2 rechnerische Lösung

2.3 Diskussion: Eindeutigkeit, Mehrdeutigkeit

3. Quadratische Gleichungen

3.1 reinquadratisch

3.2 allgemeine Form: quadratische Ergänzung, Lösungsformel

3.3 (Zusammenhang zu quadratischen Funktionen)

4. Wurzelgleichungen
5. Rechnen mit Potenzen (rationale Exponenten)
6. Exponential und Logarithmusgleichungen
7. Goniometrische Gleichungen

Thema: Geometrie
Anhand der Herleitung der Volumenberechnungsformel von Kegel, Kugel und Zylinder sollen die Schüler eine propädeutische Vorstellung vom Grenzwertbegriff erhalten.
Dieser Themenkomplex stellt somit eine wichtige Vorbereitung für den Unterrichtsstoff der Stufe 11 dar.

Die Inhalte im einzelnen:

1. Ebene Geometrie

1.1 Berechnung des Flächeninhalts des Rechtecks, Parallelogramms, des Dreiecks, des Trapezes

1.2 Berechnung des Flächeninhalts des Kreises

2. Raumgeometrie

2.1 Berechnung des Volumens von Quader und Pyramide

2.2 Berechnung des Oberflächeninhalts von Quader und Pyramide

2.3 Berechnung des Volumens des Zylinders, des Kegels und der Kugel

2.4 Berechnung des Oberflächeninhalts von Zylinder, Kegel und Kugel

2.5 Behandlung von zusammengesetzten Körpern

Thema: Funktionen
Die Schüler beschäftigen sich mit einem fundamentalen Begriff der Mathematik:
Der allgemeine Funktions - oder Abbildungsbegriff.
In einer ersten Unterrichtssequenz erfahren die Schüler die Definition einer Funktion und entdecken anhand von Alltagsbeispielen die Tragweite des Funktionsbegriffs.
In diesem Zusammenhang werden grundlegende Sprechweisen und Begriffe, wie Definitions - und Wertemenge, sowie Graph einer Funktion und Koordinatensystem, aber noch keine Funktionsterme behandelt.
Die folgende Unterrichtseinheit beschäftigt sich mit der Behandlung von speziellen Beispielen von Funktionen und ihrem Bezug zu Naturwissenschaft und Technik.
Dabei sollte besonders auf diejenigen Inhalte besonders wertgelegt werden, die in den anschließenden Jahrgangsstufen eine wichtige Rolle spielen.
Beispiele hierfür sind:
-Bestimmung der Definitionsmenge
-Umkehrbarkeit

Die Inhalte im einzelnen:

1. Der allgemeine Funktionsbegriff

1.1 Mengenbegriff, Sprechweisen

1.2 Definition einer Funktion, Begriffe: Wertemenge, Definitionsmenge

1.3 Graph einer Funktion

2. Die lineare Funktion

2.1 Funktionsgleichung

2.2 Anstiegsform, Graphen

3. Die quadratische Funktion

3.1 Funktionsgleichung, Graph, Eigenschaften

3.2 Form:

4. Die Wurzelfunktion
5. Die Umkehrfunktion
6. Die Potenzfunktion
7. Die Exponentialfunktion
8. Die Logarithmusfunktion
9. Die trigonometrische Funktion

Stufe 11:

THEMA: Differenzialrechnung und Graphenanalyse
Die Schüler sollen in die Lage versetzt werden, aus einem gegebenen Funktionsterm mit Hilfe von analytischen Betrachtungen auf den geometrischen Verlauf des Funktionsgraphen zu schließen.
Eine genauere Graphenanalyse wird erst durch die Methoden der Differentialrechnung möglich.
Die Differenzialrechnung wird parallel zur Graphenanalyse systematisch entwickelt. Neu erworbene Kenntnisse aus diesem Gebiet sollten unmittelbar im Rahmen einer Graphendiskussion Anwendung finden.
Außerdem sollen die Schüler den Ableitungskalkül auf Extremwertaufgaben anwenden lernen und so einen praktischen Bezug des Lehrstoffes erhalten.

Die Inhalte im einzelnen:

1. Rationale Funktionen

1.1 Allgemeine Eigenschaften von Funktionen: Monotonie, Beschränktheit, Symmetrie

1.2. Ganzrationale Funktionen

     1.2.1 Zerlegungssatz

     1.2.2 Polynomdivision

     1.2.3 Nullstellenbestimmung

1.3 Gebrochenrationale Funktionen

     1.3.1 Unendlichkeitsstellen

     1.3.2 Asymptotisches Verhalten

2. Differentialrechnung

2.1 Tangentenproblem

2.2 Anstieg eines Graphen an einer Stelle

2.3 Begriff der Ableitung

2.4 Differenzenquotient, Grenzwert des Differenzenquotienten

2.5 Notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Existenz eines Extrempunktes

2.6 Stetigkeit

2.7 Differenzierbarkeit

2.8 Höhere Ableitungen

2.9 Ableitungsregel für elementare Funktionen

2.10 Produktregel, Quotientenregel

2.11 Kettenregel

2.12 Kurvendiskussion einschließlich gebrochenrationaler Funktionen

3. Extremwertaufgaben

3.1 Abstandsprobleme

3.2 Flächen - und Körperprobleme

3.3 Rotationskörper

Stufe 12:

THEMA: Integralrechnung und analytische Geometrie
In dieser und in der nächsten Jahrgangsstufe werden die folgenden Themen behandelt:

1. Weiterentwicklung der Analysis durch die Einführung der Integralrechnung
2. Analytische Geometrie

zu 1.:
Die Methoden der Integralrechnung sollen die Kenntnisse zur Graphenanalyse aus der Klassenstufe 11 vertiefen und erweitern.
Außerdem stellt die Integralrechnung ein unerlässliches Hilfsmittel zur Berechnung von wichtigen physikalischen Größen dar.

zu 2.:
Die analytische Geometrie erlaubt die rechnerische Behandlung von Objekten, wie Ebenen, Geraden und Körpern und Geraden im dreidimensionalen Raum, über die die Schüler aus früheren Klassenstufen über qualitative Kenntnisse verfügen sollten.

Die Inhalte im einzelnen:

1. Integralrechnung

1.1 Begriff des Integrals

     1.1.1 Flächenfunktion

     1.1.2 Stammfunktion, Integralfunktion

     1.1.3 bestimmtes Riemannsches Integral

          1.1.3.1 Ober - und Untersummenbildung

          1.1.3.2 Grenzwertbildung

1.2 Stammfunktionen elementarer Funktionen

1.3 Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung

1.4 Flächenberechnungen zwischen Funktionsgraphen

2. Exponential - und Logarithmusfunktionen

2.1 Diskussion dieser Funktionstypen

2.2 praktische Anwendungen

2.3 uneigentliche Integrale

3. Geometrie

3.1 Vektoren

     3.1.1 Begriff

     3.1.2 Vektorraum

     3.1.3 lineare Abhängigkeit

3.2 Parameterformen

     3.2.1 Gerade

     3.2.2 Ebene

     3.2.3 gegenseitige Lagen

     3.2.4 Schnitte

Stufe 13:

THEMA: Ausbau der Integralrechnung und der analytischen Geometrie
Im Mathematikunterricht der Klassenstufe 13 werden die Kenntnisse und Fertigkeiten der beiden in Stufe 12 behandelten Gebiete vertieft.

zur Analysis:
Insbesondere stellt sich bei der Intergralrechnung das folgende Problem:
Man kann aus der Stetigkeit der Integrandenfunktion zwar die Existenz des bestimmten Integrals folgern, jedoch ist eine analytische Form des Funktionsterms oft nur schwer oder überhaupt nicht angebbar.
Zur Abmilderung dieses Problems dienen bestimmte Integrationsregeln, die behandelt werden sollen.

zur analytischen Geometrie:
Es sollen Methoden behandelt werden, die es erlauben, bestimmte Probleme, wie Abstandsberechnungen und Lageprobleme eleganter und rationeller zu lösen, als mit den Kenntnissen der Jahrgangsstufe 12.

Die Inhalte im einzelnen:

1. Analytische Geometrie

1.1 Skalarprodukt

     1.1.1 Beweise aus der Geometrie

     1.1.2 Anwendung zur Schnittwinkelberechnung

1.2 Koordinatenform

     1.2.1 Rechnen mit Determinanten

     1.2.2 Lösen von Gleichungssystemen, Deutung von Lösungsmengen

     1.2.3 Ebenen, Geraden

     1.2.4 Achsenabschnittsform

1.3 Normalenform

     1.3.1 allgemeine Normalenform der Ebene

     1.3.2 Diskussion der Normalenform von Geraden

     1.3.3 Hessesche Normalenform

     1.3.4 Lageprobleme, Abstandberechnungen

2. Analysis

2.1 Integrationsregeln

     2.1.1 partielle Integration

     2.1.2 Substitution

 
           2.1.3 Partialbruchzerlegung

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